いいえ、その必要はありません。
代表取締役の選定は「取締役の改選」があった場合に行うのが通常ですが、代表取締役の任期が満了していない場合は、再選定の必要はありません。
議事録上、必要であれば「引き続き職務を行う旨の確認」などを記載すると、形式的にも安心です。

詳細はこちらのコラムでも解説をしています。
（リンク：代表取締役の任期に関する実務と注意点）

本記事の著者・編集者

司法書士法人永田町事務所

商業登記全般・組織再編・ファンド組成・債務整理などの業務を幅広く取り扱う、加陽 麻里布（かよう・まりの）が代表の司法書士事務所。
【保有資格】
司法書士登録証